1. Notion de vecteur et égalité de deux vecteurs

Un vecteur décrit un déplacement : dans quelle direction, dans quel sens et de quelle longueur. Le déplacement qui mène du point $A$ au point $B$ est représenté par le vecteur $\overrightarrow{AB}$ , tracé comme une flèche d'origine $A$ et d'extrémité $B$ .

Définition

Vecteur

Un vecteur est caractérisé par trois informations :

sa direction (celle de la droite $(AB)$ ) ;
son sens (de $A$ vers $B$ ) ;
sa norme, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$ , qui est la longueur $AB$ .

Le vecteur nul $\overrightarrow{0}$ est le vecteur $\overrightarrow{AA}$ : il n'a ni direction ni sens, et sa norme vaut $0$ .

Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs sont égaux quand ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Les flèches peuvent être situées à des endroits différents du plan.

Pour des points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Exemple corrigé : lire une égalité de vecteurs

Énoncé

$ABCD$ est un parallélogramme. Donner deux vecteurs égaux à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ , puis deux vecteurs égaux à leurs opposés.

Solution

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur :

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (côtés $[AB]$ et $[DC]$ , même sens) ;
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ .

Les vecteurs opposés s'obtiennent en inversant le sens : $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$ est l'opposé de $\overrightarrow{AB}$ , et $\overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}$ est l'opposé de $\overrightarrow{AD}$ .

Un vecteur n'est pas un point

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés : ils sont opposés, pas égaux. Et un vecteur ne s'écrit jamais comme un point : on n'écrit pas $\overrightarrow{AB} = B$ .

2. Translation, somme de vecteurs et relation de Chasles

La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ envoie tout point $M$ sur le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{u}$ . Enchaîner deux déplacements revient à les additionner.

Relation de Chasles

Pour tous points $A$ , $B$ et $C$ :

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.$

L'extrémité du premier vecteur est l'origine du second. Une conséquence : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}$ , donc $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ .

Règle du parallélogramme et produit par un réel

Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ .
Pour un réel $k$ et un vecteur $\overrightarrow{u}$ non nul, $k\overrightarrow{u}$ a la même direction que $\overrightarrow{u}$ ; il a le même sens si $k > 0$ , le sens contraire si $k < 0$ ; sa norme est $|k| \times \|\overrightarrow{u}\|$ .

Exemple corrigé : simplifier une somme

Énoncé

$ABCD$ est un parallélogramme. Simplifier $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$ .

Solution

On applique la relation de Chasles de proche en proche :

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}.$

Donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ .

Attention à l'enchaînement des lettres

La relation de Chasles ne s'applique que si l'extrémité du premier vecteur est l'origine du suivant : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ ne se simplifie pas directement. On remplace d'abord $\overrightarrow{CB}$ par $-\overrightarrow{BC}$ si besoin.

3. Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère du plan, un vecteur $\overrightarrow{u}$ a deux coordonnées $(x\,;\,y)$ : de combien il se déplace horizontalement, puis verticalement. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.

Calculer avec des coordonnées

Soit $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ , et deux vecteurs $\overrightarrow{u}(x\,;\,y)$ et $\overrightarrow{v}(x'\,;\,y')$ .

$\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$ : arrivée moins départ.
$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ a pour coordonnées $(x + x'\,;\,y + y')$ .
$k\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(kx\,;\,ky)$ .
Dans un repère orthonormé, $\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Exemple corrigé 1 : coordonnées d'un vecteur et norme

Énoncé

Dans un repère orthonormé, $A(1\,;\,2)$ et $B(4\,;\,-1)$ . Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et sa norme.

Solution

$\overrightarrow{AB}(4 - 1\,;\,-1 - 2) = (3\,;\,-3)$ .

$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ .

Exemple corrigé 2 : somme et multiple

Énoncé

Soit $\overrightarrow{u}(2\,;\,-1)$ et $\overrightarrow{v}(-3\,;\,4)$ . Calculer $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ puis $2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v}$ .

Solution

$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}(2 + (-3)\,;\,-1 + 4) = (-1\,;\,3)$ .
$2\overrightarrow{u}(4\,;\,-2)$ et $3\overrightarrow{v}(-9\,;\,12)$ , donc $2\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v}(4 - (-9)\,;\,-2 - 12) = (13\,;\,-14)$ .

Arrivée moins départ

Pour $\overrightarrow{AB}$ , on soustrait les coordonnées de $A$ à celles de $B$ , pas l'inverse : inverser donne les coordonnées de $\overrightarrow{BA}$ , de signes opposés. Garde aussi des parenthèses quand tu soustrais un nombre négatif.

4. Résumé et méthode

À retenir

Un vecteur a une direction, un sens et une norme ; $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ équivaut à « $ABCD$ est un parallélogramme » (éventuellement aplati).
Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ .
$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$ : arrivée moins départ.
Somme : on additionne les coordonnées ; produit par $k$ : on multiplie chaque coordonnée par $k$ .
Norme dans un repère orthonormé : $\sqrt{x^2 + y^2}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre un point et un vecteur, ou écrire $\overrightarrow{AB} = B$ .
Inverser les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ (départ moins arrivée).
Oublier un signe en soustrayant un nombre négatif.
Mal enchaîner les lettres dans la relation de Chasles.

Trois exercices d'application

Exercice 1 : coordonnées, somme et norme

Facile

Dans un repère orthonormé, $A(-1\,;\,2)$ , $B(3\,;\,5)$ et $C(0\,;\,-2)$ . Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ , de $\overrightarrow{AC}$ et de $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ , puis la norme de $\overrightarrow{AB}$ .

Voir la correction détaillée

$\overrightarrow{AB}(3 - (-1)\,;\,5 - 2) = (4\,;\,3)$ .
$\overrightarrow{AC}(0 - (-1)\,;\,-2 - 2) = (1\,;\,-4)$ .
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}(4 + 1\,;\,3 + (-4)) = (5\,;\,-1)$ .
$\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Exercice 2 : combinaisons de vecteurs

Moyen

Soit $\overrightarrow{u}(3\,;\,-2)$ et $\overrightarrow{v}(-1\,;\,4)$ .

Calculer les coordonnées de $2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}$ .
Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{w}$ tel que $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{v}$ .

Voir la correction détaillée

$2\overrightarrow{u}(6\,;\,-4)$ et $3\overrightarrow{v}(-3\,;\,12)$ , donc $2\overrightarrow{u} + 3\overrightarrow{v}(6 - 3\,;\,-4 + 12) = (3\,;\,8)$ .
De $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{v}$ on tire $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}$ , soit $(-1 - 3\,;\,4 - (-2)) = (-4\,;\,6)$ . Vérification : $(3 + (-4)\,;\,-2 + 6) = (-1\,;\,4)$ .

Exercice 3 : démontrer avec Chasles

Difficile

$ABCD$ est un parallélogramme.

Démontrer que $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{AD}$ .
Vérifier ce résultat avec $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,1)$ et $D(1\,;\,3)$ .

Voir la correction détaillée

Par Chasles, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}$ . En additionnant :

$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BA}.$

Dans le parallélogramme, $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ , donc $\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$ . D'où $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{AD}$ .

On a $\overrightarrow{AB}(4\,;\,1)$ et $\overrightarrow{AD}(1\,;\,3)$ . Comme $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ , le point $C$ a pour coordonnées $(4 + 1\,;\,1 + 3) = (5\,;\,4)$ . Alors $\overrightarrow{AC}(5\,;\,4)$ , $\overrightarrow{BD}(1 - 4\,;\,3 - 1) = (-3\,;\,2)$ , et leur somme est $(2\,;\,6)$ . De son côté, $2\overrightarrow{AD}(2\,;\,6)$ : l'égalité est vérifiée.

Débloque la suite du cours

Tu sais calculer avec des vecteurs et leurs coordonnées. Crée gratuitement ton compte Klyra pour accéder à la suite : colinéarité, alignement, parallélisme, milieu, parallélogramme, exercices et quiz.

VerrouilléColinéarité et déterminant
VerrouilléAlignement et parallélisme
VerrouilléMilieu d'un segment et parallélogramme
VerrouilléRédiger une démonstration vectorielle
VerrouilléExercices progressifs avec corrections détaillées
VerrouilléQuiz final de 10 questions avec explications

Créer un compte gratuitement J'ai déjà un compte — Se connecter

Les vecteurs : cours de Mathématiques et exercices corrigés

1. Notion de vecteur et égalité de deux vecteurs

2. Translation, somme de vecteurs et relation de Chasles

3. Coordonnées d'un vecteur

4. Résumé et méthode

Trois exercices d'application

Débloque la suite du cours

Pour aller plus loin

Autres cours de Mathématiques