1. Rappels sur les fonctions

Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre $x$ choisi, associe un seul nombre, noté $f(x)$ . Tu peux l'imaginer comme une machine : tu entres un nombre, elle applique toujours la même règle de calcul et ressort un unique résultat. On écrit $f : x \mapsto f(x)$ et on lit « $f$ de $x$ ».

Par exemple, la règle « multiplier par $3$ puis soustraire $1$ » définit la fonction $f(x) = 3x - 1$ . Si on entre $x = 2$ , la machine calcule $3 \times 2 - 1 = 5$ : on écrit $f(2) = 5$ . Un tableau de valeurs regroupe plusieurs de ces calculs :

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x) = 3x - 1$	$-7$	$-4$	$-1$	$2$	$5$

Définition

Image et antécédent

Si $f(x) = y$ , on dit que $y$ est l'image de $x$ par $f$ , et que $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .

Pour calculer une image, on remplace $x$ par sa valeur. Pour trouver un antécédent, on résout une équation.

Calculer une image

Énoncé

Avec $f(x) = 3x - 1$ , quelle est l'image de $-2$ ?

Solution

On remplace $x$ par $-2$ :

$f(-2) = 3 \times (-2) - 1 = -6 - 1 = -7.$

L'image de $-2$ par $f$ est $-7$ .

Trouver un antécédent

Énoncé

Avec la même fonction $f(x) = 3x - 1$ , quel est l'antécédent de $8$ ?

Solution

On cherche le nombre $x$ tel que $f(x) = 8$ :

$3x - 1 = 8 \iff 3x = 9 \iff x = 3.$

Vérification : $f(3) = 3 \times 3 - 1 = 8$ . L'antécédent de $8$ par $f$ est $3$ .

Une seule image, mais parfois plusieurs antécédents

Un nombre $x$ a toujours une seule image. En revanche, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun : avec $x \mapsto x^2$ , le nombre $9$ a deux antécédents ( $3$ et $-3$ ) et le nombre $-4$ n'en a aucun. Pour une fonction affine non constante, nous verrons que chaque nombre a exactement un antécédent.

2. Définition d'une fonction affine

Les fonctions affines décrivent les situations où une grandeur augmente (ou diminue) toujours du même montant : un abonnement avec un prix fixe plus un prix par séance, une distance parcourue à vitesse constante, une température qui baisse régulièrement…

Définition

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ qui s'écrit, pour tout nombre réel $x$ :

$f(x) = ax + b$

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels fixés.

Chaque coefficient a un nom et un rôle :

$a$ est le coefficient directeur (on dit aussi la pente). Il indique de combien $f(x)$ varie quand $x$ augmente de $1$ .
$b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est l'image de $0$ , car $f(0) = a \times 0 + b = b$ .

Deux cas particuliers portent un nom : si $b = 0$ , $f(x) = ax$ est une fonction linéaire (sa droite passe par l'origine) ; si $a = 0$ , $f(x) = b$ est une fonction constante (sa droite est horizontale).

Reconnaître $a$ et $b$ . Il faut parfois réécrire l'expression sous la forme $ax + b$ avant de lire les coefficients :

Fonction	Forme $ax + b$	$a$	$b$
$f(x) = -4x + 1$	déjà sous cette forme	$-4$	$1$
$g(x) = 5 - 2x$	$-2x + 5$	$-2$	$5$
$h(x) = \dfrac{x}{2}$	$\dfrac{1}{2}x + 0$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$k(x) = 3(x - 2) + 4$	$3x - 2$	$3$	$-2$

En revanche, $x \mapsto x^2 + 1$ n'est pas affine : elle contient un terme en $x^2$ .

Le rôle de chaque coefficient sur le graphique

Le coefficient $a$ règle l'inclinaison de la droite : si $a > 0$ elle monte, si $a < 0$ elle descend, si $a = 0$ elle est horizontale. Plus $|a|$ est grand, plus la droite est raide. Le coefficient $b$ fixe l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées, au point $(0\,;\,b)$ .

Trois droites qui ont la même ordonnée à l'origine b = 1 mais des coefficients directeurs différents : a = 2 (elle monte), a = 0 (horizontale), a = −1 (elle descend).

Trois droites qui ont le même coefficient directeur a = 2 mais des ordonnées à l'origine différentes (b = −2, 1 et 4) : elles sont parallèles, décalées verticalement.

Exemple corrigé : f(x) = 2x + 3

Énoncé

Soit $f(x) = 2x + 3$ . Donner $a$ et $b$ , puis calculer $f(0)$ , $f(2)$ et l'image de $4$ .

Solution

Ici $a = 2$ et $b = 3$ .

$f(0) = 2 \times 0 + 3 = 3$ (on retrouve bien $b$ ) ;
$f(2) = 2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7$ ;
l'image de $4$ est $f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$ .

Pour trouver l'antécédent de $9$ , on résout $2x + 3 = 9$ , soit $2x = 6$ , donc $x = 3$ : on a bien $f(3) = 9$ .

À retenir

Dans $f(x) = ax + b$ : $a$ donne l'inclinaison (le sens et la raideur de la droite), $b$ donne le point de départ sur l'axe des ordonnées. Ne les inverse jamais : $f(0) = b$ , et non $a$ .

3. Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique de $f$ est l'ensemble des points $M(x\,;\,f(x))$ . Pour une fonction affine, c'est toujours une droite, d'équation $y = ax + b$ .

Pourquoi une droite ?

Prenons deux nombres différents $x_1$ et $x_2$ . Leurs images valent $f(x_1) = ax_1 + b$ et $f(x_2) = ax_2 + b$ , donc :

$f(x_2) - f(x_1) = (ax_2 + b) - (ax_1 + b) = a\,(x_2 - x_1).$

On en déduit que le rapport entre la variation de $f(x)$ et la variation de $x$ est le même pour tous les couples de points :

$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = a.$

Quand $x$ avance de $1$ , $f(x)$ avance toujours de $a$ : la courbe monte (ou descend) de façon parfaitement régulière, comme un escalier dont toutes les marches sont identiques. Cette régularité est la caractéristique d'une droite.

Tracer une droite avec deux points

Comme une droite est entièrement déterminée par deux de ses points, il suffit d'en calculer deux :

choisis deux valeurs de $x$ simples (souvent $0$ et $2$ , ou $0$ et $1$ ) ;
calcule leurs images pour obtenir deux points $A$ et $B$ ;
place $A$ et $B$ dans le repère ;
trace la droite à la règle en la prolongeant des deux côtés ;
vérifie avec un troisième point : s'il n'est pas sur la droite, un calcul est faux.

Exemple corrigé : tracer la droite de f(x) = 2x + 3

Énoncé

Tracer la représentation graphique de $f(x) = 2x + 3$ et vérifier avec un troisième point.

Solution

Pour $x = 0$ : $f(0) = 3$ , d'où le point $A(0\,;\,3)$ .
Pour $x = 2$ : $f(2) = 2 \times 2 + 3 = 7$ , d'où le point $B(2\,;\,7)$ .

On trace la droite $(AB)$ . Vérification : pour $x = -1$ , $f(-1) = 2 \times (-1) + 3 = 1$ , et le point $(-1\,;\,1)$ est bien sur la droite.

Représentation graphique de f(x) = 2x + 3, avec les points A(0 ; 3) et B(2 ; 7) et le « triangle de pente » : +1 en abscisse, +2 en ordonnée.

Interpréter le coefficient directeur

Si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ sont deux points de la droite, d'abscisses $x_A$ et $x_B$ différentes, alors :

$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.$

Avec $A(0\,;\,3)$ et $B(2\,;\,7)$ : $a = \dfrac{7 - 3}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2$ . Lecture graphique : en avançant de $1$ vers la droite, on monte de $a = 2$ ; si $a$ était négatif, on descendrait de $|a|$ .

Attention à l'ordre dans le calcul de a

Dans $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , on garde le même ordre au numérateur et au dénominateur ( $B$ moins $A$ des deux côtés). Inverser un seul des deux changerait le signe de $a$ .

4. Résumé et méthode

À retenir : formules et définitions

Fonction affine : $f(x) = ax + b$ , définie sur $\mathbb{R}$ .
Coefficient directeur : $a$ ; ordonnée à l'origine : $b = f(0)$ .
Image de $x$ : on calcule $f(x)$ . Antécédent de $y$ : on résout $f(x) = y$ .
Graphique : une droite d'équation $y = ax + b$ , qui passe par $(0\,;\,b)$ .
Coefficient directeur à partir de deux points : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .
Tracer : deux points suffisent, un troisième sert à vérifier.

Erreurs fréquentes

Confondre $a$ et $b$ : $f(0) = b$ , et $a$ est la variation de $f(x)$ quand $x$ augmente de $1$ .
Oublier le signe en réordonnant : pour $g(x) = 5 - 2x = -2x + 5$ , on a $a = -2$ (et non $2$ ).
Confondre image et antécédent : l'image se calcule, l'antécédent se cherche en résolvant une équation.
Mal gérer les parenthèses : $f(-2) = 2 \times (-2) + 3$ , et non $2 \times -2 + 3$ écrit sans réfléchir au signe.
Tracer avec un seul point, ou sans vérification : deux points calculés juste, un troisième pour contrôler.

Méthode en 3 étapes

Écrire la fonction sous la forme $ax + b$ et repérer $a$ et $b$ .
Calculer : image par remplacement, antécédent par résolution d'équation.
Représenter : deux points calculés, une droite tracée à la règle, un point de contrôle.

Trois exercices d'application

Exercice 1 : lire et calculer

Facile

Soit $f(x) = -3x + 5$ .

Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $f$ .
Calculer $f(0)$ , $f(2)$ et $f(-1)$ .
Quelle est l'image de $4$ par $f$ ?

Voir la correction détaillée

Par lecture directe de $f(x) = ax + b$ : $a = -3$ et $b = 5$ .
On calcule les images :
- $f(0) = -3 \times 0 + 5 = 5$ (on retrouve $b$ ) ;
- $f(2) = -3 \times 2 + 5 = -6 + 5 = -1$ ;
- $f(-1) = -3 \times (-1) + 5 = 3 + 5 = 8$ .
$f(4) = -3 \times 4 + 5 = -12 + 5 = -7$ . L'image de $4$ est $-7$ .

Exercice 2 : antécédents

Moyen

Soit $g(x) = 4x - 7$ .

Déterminer l'antécédent de $5$ par $g$ .
Déterminer l'antécédent de $-3$ par $g$ .
Le point $M(2\,;\,1)$ appartient-il à la représentation graphique de $g$ ?

Voir la correction détaillée

On résout $g(x) = 5$ :

$4x - 7 = 5 \iff 4x = 12 \iff x = 3.$

L'antécédent de $5$ est $3$ . Vérification : $g(3) = 4 \times 3 - 7 = 5$ .
On résout $g(x) = -3$ :

$4x - 7 = -3 \iff 4x = 4 \iff x = 1.$

L'antécédent de $-3$ est $1$ . Vérification : $g(1) = 4 - 7 = -3$ .
Le point $M(2\,;\,1)$ est sur la courbe si et seulement si $g(2) = 1$ . Or $g(2) = 4 \times 2 - 7 = 1$ : oui, $M$ appartient à la représentation graphique de $g$ .

Exercice 3 : tracer et interpréter

Moyen

Soit $h(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2$ .

La droite représentant $h$ monte-t-elle ou descend-elle ? Pourquoi ?
Calculer $h(0)$ et $h(4)$ , puis tracer la représentation graphique de $h$ .
Retrouver le coefficient directeur à partir des deux points obtenus.

Voir la correction détaillée

Le coefficient directeur est $a = -\dfrac{1}{2} < 0$ : la droite descend (de $\dfrac{1}{2}$ à chaque fois que $x$ augmente de $1$ ).
On calcule les images :
- $h(0) = -\dfrac{1}{2} \times 0 + 2 = 2$ , d'où $A(0\,;\,2)$ ;
- $h(4) = -\dfrac{1}{2} \times 4 + 2 = -2 + 2 = 0$ , d'où $B(4\,;\,0)$ .
On place $A$ et $B$ et on trace la droite $(AB)$ (figure ci-dessous).
$a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{0 - 2}{4 - 0} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}$ , ce qui est bien le coefficient de $h$ .

Représentation graphique de h(x) = −x/2 + 2 : elle descend et passe par A(0 ; 2) et B(4 ; 0).

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Les fonctions affines : cours de Seconde, exemples et exercices corrigés

1. Rappels sur les fonctions

2. Définition d'une fonction affine

Le rôle de chaque coefficient sur le graphique

3. Représentation graphique

Pourquoi une droite ?

Tracer une droite avec deux points

Interpréter le coefficient directeur

4. Résumé et méthode

Trois exercices d'application

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