1. Le triangle rectangle et l'énoncé du théorème

Le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle. Il permet de calculer une longueur manquante, et (avec sa réciproque) de prouver qu'un triangle est rectangle.

Définition

Triangle rectangle et hypoténuse

Un triangle est rectangle s'il possède un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse : c'est toujours le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , l'hypoténuse est $[BC]$ et les côtés de l'angle droit sont $[AB]$ et $[AC]$ .

Le théorème de Pythagore

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :

$BC^2 = AB^2 + AC^2.$

Exemple corrigé : vérifier le théorème sur un triangle 3-4-5

Énoncé

Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm et $AC = 4$ cm. Vérifie que $BC = 5$ cm convient.

Solution

Calculons les carrés : $AB^2 = 3^2 = 9$ et $AC^2 = 4^2 = 16$ .

Leur somme vaut $9 + 16 = 25$ , et $5^2 = 25$ .

Donc $BC^2 = AB^2 + AC^2$ avec $BC = 5$ : le théorème est bien vérifié.

Le carré d'un nombre n'est pas son double

Élever au carré, c'est multiplier le nombre par lui-même : $5^2 = 5 \times 5 = 25$ , et non $5 \times 2 = 10$ . Et il faut additionner les carrés, pas les longueurs : $3^2 + 4^2 = 25$ alors que $(3 + 4)^2 = 49$ .

2. Calculer une longueur avec le théorème

Pour calculer une longueur, on repère d'abord le triangle rectangle et son hypoténuse, puis on écrit l'égalité de Pythagore dans laquelle une seule longueur est inconnue.

La rédaction en quatre temps

Triangle et angle droit : « Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , »
Théorème : « d'après le théorème de Pythagore, on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$ . »
Calcul : on remplace par les valeurs, on calcule, puis on prend la racine carrée.
Conclusion : une phrase avec l'unité : « Donc $BC = \dots$ cm. »

Exemple corrigé : calculer l'hypoténuse

Énoncé

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calcule $BC$ .

Solution

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , d'après le théorème de Pythagore :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100.$

Comme $BC$ est une longueur positive, $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.

Exemple corrigé : calculer un côté de l'angle droit

Énoncé

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $BC = 13$ cm et $AB = 5$ cm. Calcule $AC$ .

Solution

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , d'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .

On cherche un côté de l'angle droit, donc on soustrait : $AC^2 = BC^2 - AB^2$ .

$AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.$

Donc $AC = \sqrt{144} = 12$ cm.

Exemple corrigé : un résultat qui n'est pas un nombre entier

Énoncé

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 4$ cm et $AC = 7$ cm. Calcule $BC$ , arrondi au dixième.

Solution

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , d'après le théorème de Pythagore :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65.$

Donc $BC = \sqrt{65} \approx 8{,}1$ cm (arrondi au dixième).

Hypoténuse ou côté : addition ou soustraction ?

Si tu cherches l'hypoténuse, tu additionnes les carrés des deux autres côtés.
Si tu cherches un côté de l'angle droit, tu soustrais le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse.

Contrôle de cohérence : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté. Si ton résultat contredit cela, il y a une erreur.

3. La réciproque et la contraposée

Le théorème part de « le triangle est rectangle » pour conclure sur les longueurs. La réciproque fait le chemin inverse : elle part des longueurs pour conclure que le triangle est rectangle.

La réciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle $ABC$ , on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (l'angle droit est au sommet opposé au plus grand côté).

Méthode. On compare séparément deux nombres : le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres. On ne calcule jamais « tout d'un coup » avec un signe égal avant d'avoir comparé.

Exemple corrigé : prouver qu'un triangle est rectangle

Énoncé

Un triangle $EFG$ a pour côtés $EF = 5$ cm, $EG = 12$ cm et $FG = 13$ cm. Est-il rectangle ?

Solution

Le plus grand côté est $[FG]$ .

D'une part, $FG^2 = 13^2 = 169$ .

D'autre part, $EF^2 + EG^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ .

On constate que $FG^2 = EF^2 + EG^2$ . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $EFG$ est rectangle en $E$ .

Exemple corrigé : prouver qu'un triangle n'est pas rectangle

Énoncé

Un triangle $KLM$ a pour côtés $KL = 4$ cm, $KM = 5$ cm et $LM = 7$ cm. Est-il rectangle ?

Solution

Le plus grand côté est $[LM]$ .

D'une part, $LM^2 = 7^2 = 49$ .

D'autre part, $KL^2 + KM^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$ .

Les deux nombres sont différents : $LM^2$ n'est pas égal à $KL^2 + KM^2$ . Si le triangle était rectangle, le théorème de Pythagore donnerait l'égalité. Donc le triangle $KLM$ n'est pas rectangle (c'est la contraposée du théorème).

Les triplets pythagoriciens à connaître

Un triplet pythagoricien est formé de trois entiers qui vérifient l'égalité de Pythagore. Les plus utiles : $(3\,;\,4\,;\,5)$ , $(5\,;\,12\,;\,13)$ , $(8\,;\,15\,;\,17)$ et $(7\,;\,24\,;\,25)$ . Leurs multiples conviennent aussi : $(6\,;\,8\,;\,10)$ est le double de $(3\,;\,4\,;\,5)$ .

Les reconnaître fait gagner du temps : si tu vois $6$ et $8$ , tu sais tout de suite que l'hypoténuse mesure $10$ .

4. Résumé et méthode

À retenir

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, et le plus long côté du triangle rectangle.
Théorème : si $ABC$ est rectangle en $A$ , alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
Pour l'hypoténuse, on additionne les carrés ; pour un côté de l'angle droit, on soustrait.
Réciproque : si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors $ABC$ est rectangle en $A$ .
Si l'égalité est fausse, le triangle n'est pas rectangle.

Erreurs fréquentes

Appliquer le théorème sans angle droit : il ne sert que dans un triangle rectangle.
Oublier la racine carrée à la fin : $BC^2 = 100$ donne $BC = 10$ , pas $100$ .
Additionner au lieu de soustraire quand on cherche un côté de l'angle droit.
Confondre le théorème et sa réciproque : l'un calcule une longueur, l'autre prouve qu'un triangle est rectangle.
Oublier l'unité dans la phrase de conclusion.

Méthode : quel outil choisir ?

L'énoncé dit que le triangle est rectangle et demande une longueur : théorème de Pythagore.
L'énoncé donne les trois longueurs et demande si le triangle est rectangle : réciproque (ou contraposée).
Dans les deux cas : un schéma, le nom du triangle, l'angle droit, puis la rédaction en quatre temps.

Trois exercices d'application

Exercice 1 : calculer l'hypoténuse

Facile

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , avec $AB = 9$ cm et $BC = 12$ cm. Calcule $AC$ .

Voir la correction détaillée

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ , l'hypoténuse est $[AC]$ . D'après le théorème de Pythagore :

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225.$

Donc $AC = \sqrt{225} = 15$ cm.

Exercice 2 : l'échelle contre un mur

Moyen

Une échelle de $5$ m de long est posée contre un mur vertical. Son pied est à $1{,}4$ m du mur, sur un sol horizontal. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?

Voir la correction détaillée

Le mur et le sol forment un angle droit : l'échelle, le mur et le sol dessinent un triangle rectangle dont l'hypoténuse est l'échelle ( $5$ m).

Notons $h$ la hauteur cherchée. D'après le théorème de Pythagore : $5^2 = 1{,}4^2 + h^2$ , donc

$h^2 = 5^2 - 1{,}4^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04.$

Donc $h = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ m : l'échelle touche le mur à $4{,}8$ m de hauteur.

Exercice 3 : un triangle est-il rectangle ?

Difficile

Un triangle $RST$ a pour côtés $RS = 6{,}5$ cm, $RT = 6$ cm et $ST = 2{,}5$ cm. Est-il rectangle ? Si oui, précise en quel sommet.

Voir la correction détaillée

Le plus grand côté est $[RS]$ .

D'une part, $RS^2 = 6{,}5^2 = 42{,}25$ .

D'autre part, $RT^2 + ST^2 = 6^2 + 2{,}5^2 = 36 + 6{,}25 = 42{,}25$ .

On a $RS^2 = RT^2 + ST^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle. L'angle droit est au sommet opposé au côté $[RS]$ , c'est-à-dire en $T$ .

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Le théorème de Pythagore : cours de 4ème, réciproque et exercices corrigés

1. Le triangle rectangle et l'énoncé du théorème

2. Calculer une longueur avec le théorème

3. La réciproque et la contraposée

4. Résumé et méthode

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