1. Les fonctions polynômes du second degré

Tu connais les fonctions affines $x \mapsto ax + b$ . Le second degré ajoute un terme en $x^2$ : c'est ce qui donne à la courbe sa forme de parabole, au lieu d'une droite.

Définition

Fonction polynôme du second degré

Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ qui s'écrit, pour tout réel $x$ :

$f(x) = ax^2 + bx + c$

où $a$ , $b$ et $c$ sont trois réels, avec $a$ non nul. Si $a$ était nul, il ne resterait que $bx + c$ : on retomberait sur une fonction affine.

Reconnaître $a$ , $b$ et $c$ . Il faut parfois développer ou réordonner avant de lire les coefficients :

Fonction	Forme $ax^2 + bx + c$	$a$	$b$	$c$
$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$	déjà sous cette forme	$2$	$-3$	$1$
$g(x) = 4 - x^2$	$-x^2 + 0x + 4$	$-1$	$0$	$4$
$h(x) = (x - 1)(x + 3)$	$x^2 + 2x - 3$	$1$	$2$	$-3$

En revanche, $x \mapsto 3x + 1$ n'est pas du second degré (pas de $x^2$ ), et $x \mapsto x^3 - x$ non plus (un terme en $x^3$ ).

Exemple corrigé : calculer des images

Énoncé

Soit $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ . Calculer $f(0)$ , $f(1)$ , $f(2)$ et $f(-1)$ .

Solution

On remplace $x$ en gardant des parenthèses pour les nombres négatifs :

$f(0) = 2 \times 0^2 - 3 \times 0 + 1 = 1$ ;
$f(1) = 2 \times 1^2 - 3 \times 1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$ ;
$f(2) = 2 \times 2^2 - 3 \times 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$ ;
$f(-1) = 2 \times (-1)^2 - 3 \times (-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$ .

On remarque que $f(1) = 0$ : le nombre $1$ est une racine de $f$ , c'est-à-dire une solution de l'équation $f(x) = 0$ .

Attention au carré d'un nombre négatif

$(-1)^2 = 1$ mais $-1^2 = -1$ . Quand $x$ est négatif, mets toujours $x$ entre parenthèses avant de l'élever au carré.

2. Résoudre une équation : le discriminant

Résoudre l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ , c'est trouver les réels $x$ pour lesquels $f(x) = 0$ : les racines du trinôme. Graphiquement, ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses. Selon sa position, elle peut le couper en deux points, le toucher en un seul point, ou ne pas le toucher du tout.

Définition

Discriminant

Le discriminant de $ax^2 + bx + c$ est le nombre

$\Delta = b^2 - 4ac.$

Son signe indique le nombre de solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ .

Les trois cas

Si $\Delta > 0$ : deux solutions $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Si $\Delta = 0$ : une solution double $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ .
Si $\Delta < 0$ : aucune solution réelle.

Méthode

Vérifier que l'équation est de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ (tout passé d'un seul côté) et repérer $a$ , $b$ , $c$ .
Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Conclure selon le signe de $\Delta$ et écrire l'ensemble des solutions $S$ .

Exemple corrigé 1 : deux solutions

Énoncé

Résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Solution

Ici $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ .

$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0.$

Il y a deux solutions :

$x_1 = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2 \qquad x_2 = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3.$

Donc $S = \{2\,;\,3\}$ . Vérification : $2^2 - 5 \times 2 + 6 = 0$ et $3^2 - 5 \times 3 + 6 = 0$ .

La parabole y = x² − 5x + 6 coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 2 et 3 : ce sont les deux solutions.

Exemple corrigé 2 : une solution double

Énoncé

Résoudre $4x^2 - 12x + 9 = 0$ .

Solution

Ici $a = 4$ , $b = -12$ , $c = 9$ .

$\Delta = (-12)^2 - 4 \times 4 \times 9 = 144 - 144 = 0.$

Il y a une solution double : $x_0 = \dfrac{12}{2 \times 4} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$ . Donc $S = \left\{\dfrac{3}{2}\right\}$ .

On le voit aussi parce que $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$ : la parabole touche l'axe des abscisses en un seul point.

Exemple corrigé 3 : aucune solution

Énoncé

Résoudre $x^2 + x + 1 = 0$ .

Solution

Ici $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ .

$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0.$

Le discriminant est négatif : l'équation n'a aucune solution réelle, donc $S = \varnothing$ . La parabole reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.

Exemple corrigé 4 : des coefficients moins simples

Énoncé

Résoudre $2x^2 + 3x - 2 = 0$ .

Solution

Ici $a = 2$ , $b = 3$ , $c = -2$ .

$\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 9 + 16 = 25 > 0, \qquad \sqrt{\Delta} = 5.$

$x_1 = \dfrac{-3 - 5}{2 \times 2} = \dfrac{-8}{4} = -2 \qquad x_2 = \dfrac{-3 + 5}{2 \times 2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.$

Donc $S = \left\{-2\,;\,\dfrac{1}{2}\right\}$ . Attention au signe : ici $-4ac = -4 \times 2 \times (-2) = +16$ .

3. Les cas particuliers à résoudre sans discriminant

Le discriminant marche toujours, mais certaines équations se résolvent plus vite avec une factorisation évidente. Repère ces deux cas avant de te lancer dans les calculs.

Quand c = 0 : on factorise par x

Si $c = 0$ , l'équation est $ax^2 + bx = 0$ , soit $x(ax + b) = 0$ . Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0 \iff x = -\dfrac{b}{a}.$

Exemple corrigé : 3x² − 6x = 0

Énoncé

Résoudre $3x^2 - 6x = 0$ .

Solution

On factorise : $3x(x - 2) = 0$ . Donc $3x = 0$ ou $x - 2 = 0$ , c'est-à-dire $x = 0$ ou $x = 2$ . Donc $S = \{0\,;\,2\}$ .

Quand b = 0 : on isole x²

Si $b = 0$ , l'équation est $ax^2 + c = 0$ , soit $x^2 = -\dfrac{c}{a}$ :

si $-\dfrac{c}{a} > 0$ , il y a deux solutions opposées, $x = \sqrt{-\dfrac{c}{a}}$ et $x = -\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$ ;
si $-\dfrac{c}{a} = 0$ (donc $c = 0$ ), la seule solution est $0$ ;
si $-\dfrac{c}{a} < 0$ , il n'y a aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.

Exemples corrigés : x² − 9, 2x² − 8 et x² + 4

Énoncé

Résoudre $x^2 - 9 = 0$ , puis $2x^2 - 8 = 0$ , puis $x^2 + 4 = 0$ .

Solution

$x^2 - 9 = 0 \iff x^2 = 9 \iff x = 3$ ou $x = -3$ . Donc $S = \{-3\,;\,3\}$ .
$2x^2 - 8 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = 2$ ou $x = -2$ . Donc $S = \{-2\,;\,2\}$ .
$x^2 + 4 = 0 \iff x^2 = -4$ : impossible, un carré est positif ou nul. Donc $S = \varnothing$ .

Ne divise jamais par x

Pour $x^2 = 3x$ , ne simplifie pas par $x$ : tu perdrais la solution $x = 0$ . Passe tout d'un côté et factorise : $x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0$ , donc $S = \{0\,;\,3\}$ .

4. Résumé et méthode

À retenir : formules et définitions

Trinôme : $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a$ non nul ; sa courbe est une parabole.
Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$ .
$\Delta > 0$ : deux solutions $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; $\Delta = 0$ : une solution $\dfrac{-b}{2a}$ ; $\Delta < 0$ : aucune solution réelle.
Si $c = 0$ : factoriser par $x$ . Si $b = 0$ : isoler $x^2$ .

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe dans $b^2 - 4ac$ : $-4ac$ devient $+$ quand $a$ et $c$ sont de signes contraires ; et $b^2$ est toujours positif, même si $b$ est négatif.
Oublier de tout passer d'un côté avant de lire $a$ , $b$ et $c$ .
Oublier le $2a$ en bas de la fraction (et non seulement $2$ ).
Écrire une solution quand $\Delta < 0$ : il n'y en a pas dans $\mathbb{R}$ .
Diviser par $x$ au lieu de factoriser.

Trois exercices d'application

Exercice 1 : appliquer la méthode

Facile

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations :

$x^2 - 7x + 10 = 0$ ;
$3x^2 - x - 2 = 0$ .

Voir la correction détaillée

$a = 1$ , $b = -7$ , $c = 10$ :

$\Delta = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 10 = 49 - 40 = 9 > 0.$

$x_1 = \dfrac{7 - 3}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{7 + 3}{2} = 5$ . Donc $S = \{2\,;\,5\}$ .
$a = 3$ , $b = -1$ , $c = -2$ :

$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 1 + 24 = 25 > 0.$

$x_1 = \dfrac{1 - 5}{6} = -\dfrac{2}{3}$ et $x_2 = \dfrac{1 + 5}{6} = 1$ . Donc $S = \left\{-\dfrac{2}{3}\,;\,1\right\}$ .

Vérification : $3x^2 - x - 2 = (3x + 2)(x - 1)$ .

Exercice 2 : le signe du discriminant

Moyen

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations :

$9x^2 + 6x + 1 = 0$ ;
$x^2 - 2x + 5 = 0$ .

Voir la correction détaillée

$a = 9$ , $b = 6$ , $c = 1$ :

$\Delta = 6^2 - 4 \times 9 \times 1 = 36 - 36 = 0.$

Solution double : $x_0 = \dfrac{-6}{2 \times 9} = -\dfrac{6}{18} = -\dfrac{1}{3}$ . Donc $S = \left\{-\dfrac{1}{3}\right\}$ .
$a = 1$ , $b = -2$ , $c = 5$ :

$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16 < 0.$

Le discriminant est négatif : $S = \varnothing$ .

Exercice 3 : un problème

Moyen

Un rectangle a un périmètre de $20$ m et une aire de $21$ m². Quelles sont ses dimensions ?

Voir la correction détaillée

Notons $x$ la longueur (en mètres). Le demi-périmètre vaut $10$ , donc la largeur est $10 - x$ . L'aire est $x(10 - x) = 21$ , soit :

$10x - x^2 = 21 \iff x^2 - 10x + 21 = 0.$

$a = 1$ , $b = -10$ , $c = 21$ :

$\Delta = (-10)^2 - 4 \times 1 \times 21 = 100 - 84 = 16 > 0.$

$x_1 = \dfrac{10 - 4}{2} = 3$ et $x_2 = \dfrac{10 + 4}{2} = 7$ .

Si $x = 3$ , la largeur est $7$ ; si $x = 7$ , la largeur est $3$ . Dans les deux cas, le rectangle mesure $7$ m sur $3$ m (on vérifie : $2 \times (7 + 3) = 20$ et $7 \times 3 = 21$ ).

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Les équations du second degré : cours de Première, discriminant et exercices corrigés

1. Les fonctions polynômes du second degré

2. Résoudre une équation : le discriminant

3. Les cas particuliers à résoudre sans discriminant

Quand c = 0 : on factorise par x

Quand b = 0 : on isole x²

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