1. L'énoncé et les deux configurations

Le théorème de Thalès relie des longueurs dès que deux droites sont parallèles. Il s'applique dans deux figures que tu dois savoir reconnaître : la figure du triangle (un petit triangle « emboîté » dans un grand) et la figure dite du papillon (deux triangles qui se touchent par un sommet).

Définition

Théorème de Thalès

Soit $A$ un point et deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sécantes en $A$ . Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles $ABC$ et $AMN$ sont proportionnelles :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}.$

Cela vaut quand $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ (figure du triangle), et aussi quand $A$ est entre $B$ et $M$ et entre $C$ et $N$ (figure du papillon).

Comment bien écrire les rapports

Les trois rapports comparent le petit triangle au grand, côté par côté :

les numérateurs viennent tous du même triangle ( $AM$ , $AN$ , $MN$ ) ;
les dénominateurs viennent tous de l'autre triangle ( $AB$ , $AC$ , $BC$ ) ;
le premier et le deuxième rapport ont un sommet commun $A$ , le troisième est formé des deux côtés parallèles.

Exemple corrigé : la figure du triangle

Énoncé

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est un point de $[AB]$ et $N$ un point de $[AC]$ tels que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ . On donne $AB = 6$ cm, $AM = 4$ cm, $AC = 9$ cm et $BC = 12$ cm. Calculer $AN$ et $MN$ .

Solution

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ . D'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}, \quad \text{soit} \quad \dfrac{4}{6} = \dfrac{AN}{9} = \dfrac{MN}{12}.$

$AN = \dfrac{4 \times 9}{6} = \dfrac{36}{6} = 6$ cm ;
$MN = \dfrac{4 \times 12}{6} = \dfrac{48}{6} = 8$ cm.

Contrôle : les trois rapports valent bien $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ , et $\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ , et $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ .

Pas de parallèles, pas de Thalès

Le théorème ne s'utilise que si l'énoncé donne (ou te fait démontrer) que deux droites sont parallèles. Une figure qui « a l'air » parallèle ne suffit jamais.

2. Calculer une longueur avec le produit en croix

Dans presque tous les exercices, une longueur est inconnue. On écrit l'égalité de deux rapports (celui qui contient l'inconnue et un rapport dont les deux longueurs sont connues), puis on applique le produit en croix.

Produit en croix

Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ avec $b$ et $d$ non nuls, alors $a \times d = b \times c$ . Pour trouver l'inconnue $x$ dans $\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{d}$ , on calcule $x = \dfrac{a \times d}{b}$ .

Méthode rédigée

Citer les données : « les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, $M$ est sur $(AB)$ et $N$ sur $(AC)$ ».
Écrire : « d'après le théorème de Thalès, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ ».
Remplacer par les valeurs connues, ne garder que les deux rapports utiles.
Faire le produit en croix, calculer, écrire la phrase de conclusion avec l'unité.

Exemple corrigé 1 : deux longueurs dans le triangle

Énoncé

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ . On donne $AM = 2$ , $AB = 5$ , $AN = 3$ et $MN = 4$ (en cm). Calculer $AC$ et $BC$ .

Solution

D'après le théorème de Thalès : $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ , soit $\dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{AC} = \dfrac{4}{BC}$ .

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{AC}$ donc $AC = \dfrac{5 \times 3}{2} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$ cm ;
$\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{BC}$ donc $BC = \dfrac{5 \times 4}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$ cm.

Ici l'inconnue est au dénominateur : on garde la même formule, $x = \dfrac{\text{produit des deux nombres en diagonale}}{\text{nombre restant}}$ .

Exemple corrigé 2 : la figure du papillon

Énoncé

Les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$ , avec $A$ entre $B$ et $M$ et entre $C$ et $N$ . Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. On donne $AB = 6$ , $AM = 4$ , $AC = 9$ et $BC = 7{,}5$ (en cm). Calculer $AN$ et $MN$ .

Solution

Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles et les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$ . D'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AC}{AN} = \dfrac{BC}{MN}, \quad \text{soit} \quad \dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{AN} = \dfrac{7{,}5}{MN}.$

$AN = \dfrac{4 \times 9}{6} = 6$ cm ;
$MN = \dfrac{4 \times 7{,}5}{6} = \dfrac{30}{6} = 5$ cm.

Contrôle : $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$ ; $\dfrac{9}{6} = 1{,}5$ ; $\dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$ .

Dans le papillon, les deux triangles sont de part et d'autre du point $A$ , mais la rédaction ne change pas : chaque rapport compare un côté d'un triangle au côté correspondant de l'autre.

3. La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles

Le théorème de Thalès part d'un parallélisme et donne des longueurs. La réciproque fait le chemin inverse : on connaît des longueurs et on veut démontrer que deux droites sont parallèles.

Définition

Réciproque du théorème de Thalès

Soit deux droites $(BM)$ et $(CN)$ sécantes en $A$ . Si les points $A$ , $M$ , $B$ d'une part et $A$ , $N$ , $C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre et si

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC},$

alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Méthode

Calculer séparément les deux rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ (sous forme de fractions ou de décimaux).
S'ils sont égaux et si les points sont alignés dans le même ordre : conclure « d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ».
S'ils sont différents : conclure que $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles, car si elles l'étaient, le théorème de Thalès donnerait des rapports égaux.

Exemple corrigé : deux cas

Énoncé

Dans un triangle $ABC$ , $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles dans chacun des cas ?

$AM = 3$ , $AB = 4{,}5$ , $AN = 4$ , $AC = 6$ ;
$AM = 3$ , $AB = 5$ , $AN = 4$ , $AC = 6$ .

Solution

On calcule $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ . Les deux rapports sont égaux, et $A$ , $M$ , $B$ puis $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
On calcule $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ . Comme $\dfrac{3}{5}$ est différent de $\dfrac{2}{3}$ (car $3 \times 3 = 9$ et $5 \times 2 = 10$ ), les droites ne sont pas parallèles.

Ne pas mélanger les deux énoncés

Dans la réciproque, on ne peut pas supposer le parallélisme : c'est ce qu'on cherche à prouver. On ne l'écrit donc jamais dans les données de départ.

4. Résumé et méthode

À retenir

Thalès : deux droites sécantes en $A$ coupées par deux droites parallèles $(BC)$ et $(MN)$ donnent $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$ .
Deux figures : le triangle ( $M$ sur $[AB]$ , $N$ sur $[AC]$ ) et le papillon ( $A$ entre $B$ et $M$ , entre $C$ et $N$ ).
Pour une longueur inconnue : deux rapports, puis produit en croix.
Réciproque : rapports égaux et points alignés dans le même ordre, alors les droites sont parallèles.
Rapports différents : les droites ne sont pas parallèles.

Erreurs fréquentes

Mauvais rapports : mélanger un côté du petit triangle avec un côté du grand au numérateur, ou inverser un seul rapport.
Utiliser Thalès sans droites parallèles : sans parallélisme prouvé ou donné, le théorème ne s'applique pas.
Confondre le théorème et sa réciproque : l'un calcule des longueurs, l'autre prouve un parallélisme.
Oublier l'unité ou la phrase de conclusion.
Se tromper dans le produit en croix : on multiplie les nombres en diagonale, puis on divise par le nombre restant.

Trois exercices d'application

Exercice 1 : le triangle

Facile

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est un point de $[AB]$ et $N$ un point de $[AC]$ tels que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ . On donne $AM = 3$ cm, $AB = 9$ cm, $MN = 4$ cm et $AN = 5$ cm. Calculer $BC$ puis $AC$ .

Voir la correction détaillée

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ . D'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}, \quad \text{soit} \quad \dfrac{3}{9} = \dfrac{5}{AC} = \dfrac{4}{BC}.$

$BC = \dfrac{9 \times 4}{3} = \dfrac{36}{3} = 12$ cm ;
$AC = \dfrac{9 \times 5}{3} = \dfrac{45}{3} = 15$ cm.

Contrôle : $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ , $\dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ .

Exercice 2 : le papillon

Moyen

Les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $O$ , avec $O$ entre $B$ et $M$ et entre $C$ et $N$ . Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. On donne $OB = 4$ , $OM = 6$ , $OC = 5$ et $BC = 3$ (en cm). Calculer $ON$ et $MN$ .

Voir la correction détaillée

Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles et les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $O$ . D'après le théorème de Thalès :

$\dfrac{OB}{OM} = \dfrac{OC}{ON} = \dfrac{BC}{MN}, \quad \text{soit} \quad \dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{ON} = \dfrac{3}{MN}.$

$ON = \dfrac{6 \times 5}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ cm ;
$MN = \dfrac{6 \times 3}{4} = \dfrac{18}{4} = 4{,}5$ cm.

Contrôle : $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ , $\dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{3}$ .

Exercice 3 : la hauteur d'un arbre

Difficile

Au même moment, un bâton vertical de $1{,}2$ m projette une ombre de $1{,}8$ m, et un arbre vertical projette une ombre de $13{,}5$ m sur le sol horizontal. Le bâton est planté dans l'ombre de l'arbre, de sorte que les deux ombres se terminent au même point. Les rayons du soleil sont considérés comme parallèles.

Calculer la hauteur de l'arbre.
Quelle serait l'ombre d'un poteau vertical de $6$ m au même moment ?

Voir la correction détaillée

Le bâton et l'arbre sont verticaux, donc parallèles entre eux, et les rayons du soleil sont parallèles. Comme les deux ombres se terminent au même point, on obtient deux triangles rectangles emboîtés, dont les côtés parallèles sont le bâton et l'arbre. D'après le théorème de Thalès, avec $h$ la hauteur de l'arbre :

$\dfrac{1{,}2}{h} = \dfrac{1{,}8}{13{,}5} \quad \text{donc} \quad h = \dfrac{1{,}2 \times 13{,}5}{1{,}8} = \dfrac{16{,}2}{1{,}8} = 9.$

L'arbre mesure $9$ m.
Pour un poteau de $6$ m, avec $d$ la longueur de l'ombre :

$\dfrac{1{,}2}{6} = \dfrac{1{,}8}{d}.$

Le produit en croix donne :

$d = \dfrac{6 \times 1{,}8}{1{,}2} = \dfrac{10{,}8}{1{,}2} = 9.$

L'ombre du poteau mesure $9$ m.

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Le théorème de Thalès : cours de Troisième, calcul de longueurs et exercices corrigés

1. L'énoncé et les deux configurations

2. Calculer une longueur avec le produit en croix

3. La réciproque : prouver que deux droites sont parallèles

4. Résumé et méthode

Trois exercices d'application

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