1. Proportion et pourcentage d'un nombre

Un pourcentage est une façon d'écrire une proportion avec un dénominateur égal à $100$ : « $t\ \%$ » veut dire $\dfrac{t}{100}$ . Ainsi $25\ \%$ s'écrit aussi $\dfrac{25}{100} = 0{,}25$ .

Définition

Proportion et pourcentage

Si une partie de $n$ éléments est prise dans un ensemble de $N$ éléments, la proportion de cette partie est

$p = \dfrac{n}{N}.$

On l'exprime en pourcentage en multipliant par $100$ : $p = \dfrac{t}{100}$ où $t = 100 \times \dfrac{n}{N}$ .

Prendre un pourcentage d'un nombre

Prendre $t\ \%$ d'un nombre $A$ , c'est le multiplier par $\dfrac{t}{100}$ :

$t\ \%\ \text{de}\ A = \dfrac{t}{100} \times A.$

Exemple corrigé : proportion et pourcentage d'un nombre

Énoncé

Dans une classe de $24$ élèves, $18$ ont réussi un contrôle. Quel pourcentage de la classe cela représente-t-il ? Puis calculer $35\ \%$ de $80$ .

Solution

La proportion d'élèves ayant réussi est $\dfrac{18}{24} = 0{,}75$ , soit $75\ \%$ de la classe.
$35\ \%$ de $80$ : $\dfrac{35}{100} \times 80 = 0{,}35 \times 80 = 28$ .

Contrôle : $75\ \%$ de $24$ donne bien $0{,}75 \times 24 = 18$ .

2. Évolution en pourcentage et coefficient multiplicateur

Une grandeur passe d'une valeur initiale $V_I$ à une valeur finale $V_F$ . Le taux d'évolution mesure ce changement par rapport à la valeur de départ :

$t = \dfrac{V_F - V_I}{V_I}.$

Il est positif pour une hausse et négatif pour une baisse. On l'exprime souvent en pourcentage.

Coefficient multiplicateur

Augmenter une valeur de $t\ \%$ , c'est la multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ . La diminuer de $t\ \%$ , c'est la multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$ . Ce nombre est le coefficient multiplicateur $CM$ , et $V_F = CM \times V_I$ .

Évolution	Calcul	Coefficient multiplicateur
Hausse de $20\ \%$	$1 + 0{,}20$	$1{,}2$
Hausse de $5\ \%$	$1 + 0{,}05$	$1{,}05$
Baisse de $20\ \%$	$1 - 0{,}20$	$0{,}8$
Baisse de $35\ \%$	$1 - 0{,}35$	$0{,}65$

Exemple corrigé 1 : calculer la valeur finale

Énoncé

Un article coûte $40$ €. Son prix augmente de $15\ \%$ . Quel est le nouveau prix ? Un autre article à $60$ € baisse de $30\ \%$ : quel est son nouveau prix ?

Solution

Hausse de $15\ \%$ : $CM = 1{,}15$ et $40 \times 1{,}15 = 46$ . Le nouveau prix est $46$ €.
Baisse de $30\ \%$ : $CM = 0{,}7$ et $60 \times 0{,}7 = 42$ . Le nouveau prix est $42$ €.

Exemple corrigé 2 : retrouver le taux d'évolution

Énoncé

Une quantité passe de $50$ à $56$ . Quel est le taux d'évolution ?

Solution

$t = \dfrac{56 - 50}{50} = \dfrac{6}{50} = 0{,}12.$

C'est une hausse de $12\ \%$ . On vérifie : $50 \times 1{,}12 = 56$ .

Exemple corrigé 3 : retrouver la valeur initiale

Énoncé

Après une hausse de $20\ \%$ , un prix vaut $90$ €. Quel était le prix avant la hausse ?

Solution

On a $V_F = CM \times V_I$ avec $CM = 1{,}2$ , donc

$V_I = \dfrac{V_F}{CM} = \dfrac{90}{1{,}2} = 75.$

Le prix initial était $75$ €. Vérification : $75 \times 1{,}2 = 90$ .

Pour retrouver la valeur initiale, on divise, on ne retranche pas

Pour retrouver la valeur initiale, on divise la valeur finale par le coefficient multiplicateur. Enlever $20\ \%$ de $90$ ne donne pas $75$ : $90 - 18 = 72$ .

3. Évolutions successives et évolution réciproque

Quand une grandeur subit deux évolutions l'une après l'autre, on multiplie les coefficients multiplicateurs : $V_F = CM_1 \times CM_2 \times V_I$ . Le coefficient global $CM_1 \times CM_2$ donne ensuite le taux d'évolution global.

Exemple corrigé : une hausse puis une baisse

Énoncé

Un prix augmente de $20\ \%$ puis baisse de $20\ \%$ . Revient-il à sa valeur de départ ? Même question pour une hausse de $10\ \%$ suivie d'une hausse de $20\ \%$ .

Solution

Hausse de $20\ \%$ puis baisse de $20\ \%$ : $CM = 1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ . Le prix est multiplié par $0{,}96$ , soit une baisse globale de $4\ \%$ . Il ne revient pas à sa valeur de départ.
Hausse de $10\ \%$ puis hausse de $20\ \%$ : $CM = 1{,}1 \times 1{,}2 = 1{,}32$ , soit une hausse globale de $32\ \%$ , et non de $30\ \%$ .

Évolution réciproque

L'évolution réciproque d'une évolution de coefficient $CM$ est celle qui ramène à la valeur de départ : son coefficient est $\dfrac{1}{CM}$ .

Réciproque d'une hausse de $25\ \%$ : $\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8$ , c'est-à-dire une baisse de $20\ \%$ .
Réciproque d'une baisse de $20\ \%$ : $\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$ , c'est-à-dire une hausse de $25\ \%$ .

Deux pièges classiques

Additionner les pourcentages de deux évolutions successives : $+10\ \%$ puis $+20\ \%$ ne fait pas $+30\ \%$ .
Utiliser le même pourcentage pour revenir en arrière : après une hausse de $25\ \%$ , il faut une baisse de $20\ \%$ (et non de $25\ \%$ ) pour retrouver la valeur de départ.

4. Résumé et méthode

À retenir

Proportion : $\dfrac{n}{N}$ ; $t\ \%$ d'un nombre $A$ : $\dfrac{t}{100} \times A$ .
Taux d'évolution : $t = \dfrac{V_F - V_I}{V_I}$ .
Coefficient multiplicateur : $1 + \dfrac{t}{100}$ pour une hausse, $1 - \dfrac{t}{100}$ pour une baisse ; $V_F = CM \times V_I$ .
Évolutions successives : on multiplie les coefficients.
Évolution réciproque : on prend l'inverse du coefficient, $\dfrac{1}{CM}$ .

Erreurs fréquentes

Additionner deux hausses (ou une hausse et une baisse) au lieu de multiplier les coefficients.
Appliquer la baisse réciproque avec le même pourcentage que la hausse de départ.
Calculer le taux par rapport à la valeur finale au lieu de la valeur initiale.
Oublier de diviser pour retrouver la valeur initiale.

Méthode

Repérer la valeur de référence (la valeur initiale).
Écrire le coefficient multiplicateur de chaque évolution.
Multiplier (évolutions successives) ou diviser (retour en arrière).
Traduire le coefficient en pourcentage : $t = CM - 1$ .

Trois exercices d'application

Exercice 1 : proportion et pourcentage

Facile

Calculer $24\ \%$ de $250$ .
Dans un groupe de $360$ personnes, $54$ portent des lunettes. Quel pourcentage cela représente-t-il ?

Voir la correction détaillée

$\dfrac{24}{100} \times 250 = 0{,}24 \times 250 = 60$ .
La proportion est $\dfrac{54}{360} = 0{,}15$ , soit $15\ \%$ du groupe.

Exercice 2 : deux baisses successives

Moyen

Un jeu coûte $48$ €. Il subit une baisse de $25\ \%$ , puis une baisse supplémentaire de $10\ \%$ . Quel est son prix final ? Quelle est la baisse globale en pourcentage ?

Voir la correction détaillée

Les coefficients sont $0{,}75$ (baisse de $25\ \%$ ) et $0{,}9$ (baisse de $10\ \%$ ).

$CM = 0{,}75 \times 0{,}9 = 0{,}675.$

Prix final : $48 \times 0{,}675 = 32{,}4$ , soit $32{,}40$ €. Comme $0{,}675 - 1 = -0{,}325$ , la baisse globale est de $32{,}5\ \%$ (et non de $35\ \%$ ).

Exercice 3 : retrouver le prix de départ et revenir en arrière

Difficile

Après une hausse de $8\ \%$ , un article vaut $162$ €.

Quel était son prix avant la hausse ?
Quelle baisse, en pourcentage arrondi au dixième, ramènerait l'article à son prix de départ ?

Voir la correction détaillée

$CM = 1{,}08$ , donc $V_I = \dfrac{162}{1{,}08} = 150$ . Le prix initial était $150$ €. Vérification : $150 \times 1{,}08 = 162$ .
Le coefficient de l'évolution réciproque est $\dfrac{1}{1{,}08} = \dfrac{150}{162} = \dfrac{25}{27} \approx 0{,}9259$ . Le taux correspondant est $\dfrac{25}{27} - 1 = -\dfrac{2}{27} \approx -0{,}0741$ .

Il faut donc une baisse d'environ $7{,}4\ \%$ , et non de $8\ \%$ .

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