1. Les trois identités remarquables

Une identité est une égalité vraie quelles que soient les valeurs des lettres. Trois d'entre elles reviennent si souvent qu'on les apprend par cœur : elles permettent de développer (transformer un produit en somme) et de factoriser (transformer une somme en produit) beaucoup plus vite.

Définition

Les trois identités remarquables

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Comment les lire

Le carré d'une somme : carré du premier, plus double produit, plus carré du second.
Le carré d'une différence : carré du premier, moins double produit, plus carré du second.
Le produit somme par différence : carré du premier moins carré du second. Il n'y a pas de terme du milieu : les deux produits $+ab$ et $-ab$ s'annulent.

Exemple corrigé : appliquer chaque formule

Énoncé

Développer et réduire $(x + 3)^2$ , $(2x - 5)^2$ et $(3x + 4)(3x - 4)$ .

Solution

$(x + 3)^2$ : ici $a = x$ et $b = 3$ , donc $x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$ .
$(2x - 5)^2$ : ici $a = 2x$ et $b = 5$ , donc $(2x)^2 - 2 \times 2x \times 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$ .
$(3x + 4)(3x - 4)$ : ici $a = 3x$ et $b = 4$ , donc $(3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16$ .

Remarque : $(2x)^2 = 4x^2$ et non $2x^2$ . Le carré s'applique à tout le terme $2x$ , nombre compris.

Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés

Avec $a = 3$ et $b = 4$ : $(3 + 4)^2 = 49$ , mais $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ . Il manque le double produit $2 \times 3 \times 4 = 24$ , et $25 + 24 = 49$ .

2. Développer avec une identité remarquable

Développer avec une identité évite de refaire à chaque fois une double distributivité. Il suffit de repérer $a$ et $b$ , de les écrire entre parenthèses dans la formule, puis de calculer chaque morceau.

Méthode

Reconnaître la forme : $(a + b)^2$ , $(a - b)^2$ ou $(a + b)(a - b)$ .
Identifier $a$ et $b$ (y compris les nombres et les signes).
Écrire la formule en remplaçant $a$ et $b$ par des parenthèses, par exemple $(2x)^2$ .
Calculer et réduire.

Exemple corrigé 1 : un carré d'une somme

Énoncé

Développer $(x + 7)^2$ et $(4x + 1)^2$ .

Solution

$(x + 7)^2 = x^2 + 2 \times x \times 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$ .
$(4x + 1)^2 = (4x)^2 + 2 \times 4x \times 1 + 1^2 = 16x^2 + 8x + 1$ .

Exemple corrigé 2 : un carré d'une différence

Énoncé

Développer $(3x - 2)^2$ et $(5 - x)^2$ .

Solution

$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .
$(5 - x)^2 = 5^2 - 2 \times 5 \times x + x^2 = 25 - 10x + x^2$ , que l'on range : $x^2 - 10x + 25$ .

On remarque que $(5 - x)^2 = (x - 5)^2$ : deux nombres opposés ont le même carré.

Exemple corrigé 3 : somme par différence

Énoncé

Développer $(5x + 1)(5x - 1)$ et $(7 - 2x)(7 + 2x)$ .

Solution

$(5x + 1)(5x - 1) = (5x)^2 - 1^2 = 25x^2 - 1$ .
$(7 - 2x)(7 + 2x) = 7^2 - (2x)^2 = 49 - 4x^2$ .

Dans les deux cas, on retrouve un carré moins un carré, sans terme en $x$ .

3. Factoriser en reconnaissant une identité remarquable

Factoriser, c'est lire une identité de droite à gauche. On regarde une expression et on cherche si elle a la forme $a^2 + 2ab + b^2$ , $a^2 - 2ab + b^2$ ou $a^2 - b^2$ .

Les indices à chercher

Trois termes, dont deux sont des carrés parfaits ( $x^2$ , $16$ , $9x^2$ ...) : vérifier si le terme du milieu vaut le double produit des deux nombres dont on prend le carré. Son signe donne la forme ( $+$ ou $-$ ).
Deux termes, séparés par un signe moins, qui sont deux carrés parfaits : c'est $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ .

Exemple corrigé 1 : trois termes

Énoncé

Factoriser $x^2 + 10x + 25$ et $16x^2 - 24x + 9$ .

Solution

$x^2 + 10x + 25$ : $x^2 = x^2$ et $25 = 5^2$ . Le double produit est $2 \times x \times 5 = 10x$ , ce qui est bien le terme du milieu. Donc $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$ .
$16x^2 - 24x + 9$ : $16x^2 = (4x)^2$ et $9 = 3^2$ . Le double produit est $2 \times 4x \times 3 = 24x$ , précédé du signe moins. Donc $16x^2 - 24x + 9 = (4x - 3)^2$ .

Exemple corrigé 2 : deux termes

Énoncé

Factoriser $x^2 - 36$ et $49 - 4x^2$ .

Solution

$x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x - 6)(x + 6)$ .
$49 - 4x^2 = 7^2 - (2x)^2 = (7 - 2x)(7 + 2x)$ .

Vérification en redéveloppant : $(x - 6)(x + 6) = x^2 - 36$ .

Une somme de deux carrés ne se factorise pas ainsi

$x^2 + 9$ n'est pas égal à $(x + 3)^2$ ni à $(x + 3)(x - 3)$ . Les identités de ce chapitre ne factorisent pas une somme de deux carrés : à ce niveau, on la laisse telle quelle.

4. Résumé et méthode

À retenir

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ .
Développer : on lit de gauche à droite ; factoriser : de droite à gauche.
Pour vérifier, on redéveloppe le résultat ou on teste avec une valeur simple de $x$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le double produit : écrire $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ .
Se tromper de signe : le dernier terme $b^2$ est toujours positif, même dans $(a - b)^2$ .
Mal élever au carré un produit : $(3x)^2 = 9x^2$ , pas $3x^2$ .
Confondre $(a - b)^2$ avec $a^2 - b^2$ .
Chercher une identité là où le terme du milieu n'est pas le double produit.

Trois exercices d'application

Exercice 1 : développer

Facile

Développer et réduire : $(x + 8)^2$ , $(x - 6)^2$ et $(x + 9)(x - 9)$ .

Voir la correction détaillée

$(x + 8)^2 = x^2 + 2 \times x \times 8 + 8^2 = x^2 + 16x + 64$ ;
$(x - 6)^2 = x^2 - 2 \times x \times 6 + 6^2 = x^2 - 12x + 36$ ;
$(x + 9)(x - 9) = x^2 - 9^2 = x^2 - 81$ .

Exercice 2 : développer et factoriser

Moyen

Développer $(4x - 3)^2$ et $(2x + 5)(2x - 5)$ .
Factoriser $9x^2 + 12x + 4$ .

Voir la correction détaillée

$(4x - 3)^2 = (4x)^2 - 2 \times 4x \times 3 + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$ .

$(2x + 5)(2x - 5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$ .
$9x^2 = (3x)^2$ et $4 = 2^2$ . Le double produit est $2 \times 3x \times 2 = 12x$ , c'est bien le terme du milieu et il est positif. Donc $9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2$ .

Exercice 3 : factoriser une expression moins directe

Difficile

Factoriser $25x^2 - 36$ , puis $x^2 - 14x + 49$ , puis $(x + 3)^2 - 16$ .

Voir la correction détaillée

$25x^2 - 36 = (5x)^2 - 6^2 = (5x - 6)(5x + 6)$ .
$x^2 - 14x + 49 = x^2 - 2 \times x \times 7 + 7^2 = (x - 7)^2$ .
$(x + 3)^2 - 16 = (x + 3)^2 - 4^2$ est de la forme $a^2 - b^2$ avec $a = x + 3$ et $b = 4$ . Donc $(x + 3 - 4)(x + 3 + 4) = (x - 1)(x + 7)$ .

Vérification de la dernière : $(x + 3)^2 - 16 = x^2 + 6x + 9 - 16 = x^2 + 6x - 7$ et $(x - 1)(x + 7) = x^2 + 7x - x - 7 = x^2 + 6x - 7$ .

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Les identités remarquables : cours de Troisième, développer, factoriser et exercices corrigés

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